Les booléens

1. Données de Type Booléen

Les données booléennes représentent une valeur de vérité. Elles sont utilisées en informatique pour modéliser des états logiques simples.

Valeurs possibles :

• true (vrai)
• false (faux)

Ces deux valeurs suffisent pour construire toute une logique de prise de décision, de contrôle de flux (conditions), etc.

Exemple en Python :

a = True
b = False

# Attention: en Python True et False prennent obligatoirement une majuscule

2. Algèbre Booléenne

L’algèbre booléenne est un système mathématique basé sur les valeurs booléennes. Elle permet de modéliser des expressions logiques à l’aide d’opérateurs logiques.

Principaux opérateurs :

Opérateur	Nom	Symbole	Description
NON/NOT	Négation	¬A ou !A	Inverse la valeur de A
ET/AND	Conjonction	A ∧ B ou A && B	Vrai si A et B sont vrais
OU/OR	Disjonction	A ∨ B ou A || B	Vrai si A ou B est vrai (au moins un des deux

Tables de vérité :

NON/NOT (¬A)

A	NOT A
true	false
false	true

ET/AND (A ∧ B)

A	B	A AND B
true	true	true
true	false	false
false	true	false
false	false	false

OU/OR (A ∨ B)

A	B	A OR B
true	true	true
true	false	true
false	true	true
false	false	false

3. Formules Booléennes et Équivalences

Une formule booléenne est une expression qui combine des variables booléennes à l’aide des opérateurs and, or et not.

Exemples :

• ((A and B) or (not C))
• (not (A or B))
• ((A or B) and ((not A) or C))

Ces formules permettent de modéliser des conditions complexes ou des circuits logiques.

Équivalences logiques

Voici les principales équivalences en notation and, or, not :

Nom	Équivalence
Loi de De Morgan	not (A and B) ≡ (not A) or (not B) not (A or B) ≡ (not A) and (not B)
Double négation	not (not A) ≡ A
Idempotence	(A and A) ≡ A (A or A) ≡ A
Domination	(A and False) ≡ False (A or True) ≡ True
Identité	(A and True) ≡ A (A or False) ≡ A
Commutativité	(A and B) ≡ (B and A) (A or B) ≡ (B or A)
Associativité	((A and B) and C) ≡ (A and (B and C)) ((A or B) or C) ≡ (A or (B or C))
Distributivité	(A and (B or C)) ≡ ((A and B) or (A and C)) (A or (B and C)) ≡ ((A or B) and (A or C))

Utilité des équivalences

• Simplifier une condition logique ou une expression booléenne

• Optimiser un circuit logique (réduction du nombre de portes)

• Comparer deux expressions pour vérifier qu’elles sont logiquement équivalentes

• Faciliter la lecture ou la maintenance de code conditionnel

Deux formules sont équivalentes si elles produisent le même résultat pour toutes les combinaisons possibles des variables. Elles ont donc les mêmes tables de vérité.