Représentation des entiers relatifs, le complément à 2

Les entiers ne sont pas tous positifs. Il est donc indispensable de savoir représenter des entiers signés (positifs ou négatifs) à l’aide de bits.

Se pose alors la question : Comment représenter les entiers signés et pouvoir les manipuler ?

Une méthode particulièrement efficace pour cela est le complément à 2.

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La méthode naïve : bit de signe

Une première idée serait de réserver le bit de poids fort pour indiquer le signe du nombre :

• 0 pour un nombre positif

• 1 pour un nombre négatif

Les autres bits serviraient à stocker la valeur absolue du nombre.

Exemple sur 8 bits :

• 00000000 : 0

• 10000000 : 0 aussi

Problèmes majeurs :

1. Deux représentations pour 0 : 00000000 et 10000000.

2. L’addition ne fonctionne pas :

Exemple :

00000011 (+3)

+ 10000011 (naïvement -3)

= 10000110 ⇒ donne -6, au lieu de 0 !

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Le complément à 2.

La représentation en complément à 2 permet de :

• N’avoir qu’un seul zéro

• Effectuer les additions directement, sans traitement spécial du signe

Définition

Le complément à 2 d’un nombre binaire est la valeur qu’il faut lui ajouter pour obtenir 2^n, où n est le nombre de bits utilisés.

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Comment calculer un complément à 2 ?

Méthode : Complément à 1 + 1

1. Complément à 1 : on inverse tous les bits

2. +1 : on ajoute 1 au résultat

Exemple : 00101101 (45)
→ Complément à 1 : 11010010
→ +1 : 11010011
→ Vérification : 00101101 + 11010011 = 00000000

L’opposé d’un entier positif est donc son complément à 2.

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Astuce visuelle

Pour inverser rapidement un nombre en complément à 2 :

1. Parcourez le nombre de droite à gauche
2. Gardez tous les bits jusqu’au premier 1 (inclus)
3. Inversez les bits restants

Exemple :
00010100 (20)
→ Astuce : 11101100 (−20)

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Anecdote : Explosion de la fusée Ariane 5

Le 4 juin 1996, une fusée Ariane 5 explose après 40 secondes de vol.
Pourquoi ? Une erreur de conversion :

Un nombre codé sur 64 bits (virgule flottante) est converti en un entier signé 16 bits, sans vérifier que le nombre ne dépasse pas la limite (overflow : débordement)

Mais ce nombre était supérieur à 32767, la limite pour un entier signé sur 16 bits ([-32768, 32767]).

Il y a donc eu un débordement, qui a engendré un crash logiciel, et uneexplosion de la fusée...

Cela montre l'importance de la gestion des intervalles pour les entiers.

Avantages du complément à 2

• Zéro unique : 00000000
• Addition standard : fonctionne directement comme pour les entiers naturels
• Recyclage des circuits : mêmes opérations pour nombres signés et non signés

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Plage de valeurs en complément à 2

Sur n bits, on peut représenter les entiers de \(-2^{n-1}\) à \(2^{n-1}-1\).

Exemple sur 16 bits

• de \(-2^{15}\) : 10000000 00000000 (2 octets)

à

• \(2^{15} - 1\) : 01111111 11111111 (2 octets aussi avec 0 pour le bit de signe et 15 1).